题目

题型：月考题难度：来源：

如图所示，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ。
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；
（2）若PA∶PB∶PC=3∶4∶5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由。

答案

解：（1）猜想：AP=CQ，
证明：∵∠ABP+∠PBC=60°，∠QBC+∠PBC=60°，
∴∠ABP=∠QBC，
又AB=BC，BQ=BP，
∴△ABP≌△CBQ，
∴AP=CQ；
（2）由PA：PB：PC=3：4：5，可设PA=3a，PB=4a，PC=5a，
连接PQ，在△PBQ中由于PB=BQ=4a，且∠PBQ=60°，
∴△PBQ为正三角形，
∴PQ=4a，
于是在△PQC中
∵PQ²+QC²=16a²+9a²=25a²=PC²
∴△PQC是直角三角形。