题目

题型：同步题难度：来源：

如图所示，已知在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，过A的任一条直线AN，BD⊥AN于D，CE⊥AN于E。
（1）求证：DE=BD+CE；
（2）若将直线AN绕A点沿顺时针方向旋转，使它经过△ABC的内部，再作BD⊥AN于D，CE⊥AN于E，那么DE、DB、CE之间还存在等量关系吗？若存在，请证明你的结论。

答案

证明：（1）∵BD⊥AN于D，CE ⊥AN于E，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
∴∠ABD+∠DAB=90°， ∠CAE+∠DAB=90°，
∴∠ABD=∠CAE，
在△BAD与△ACE中，
∠ABD =∠CAE，∠ADB=∠AEC，AB=CA，
∴△BAD≌△ACE（AAS），
∴BD=AE，CE=AD，
∴BD+CE=AE+AD，
即BD+CE=DE；
（2） DE、DB、CE之间还存在等量关系，即BD-CE=DE，理由如下：
∵BD⊥AN于D，CE⊥AN于E，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
∴∠ABD+∠DAB=90°，
又∵∠CAE+∠DAB=90°，
∴∠ABD=∠CAE，
在△BAD与△ACE中，
∠ABD=∠CAE，∠ADB=∠AEC，AB=CA，
∴△BAD≌△ACE（AAS） ，
∴BD=AE，CE=AD，
∴AE-AD= BD-CE，
∴DE=BD-CE。