题目

题型：河南省模拟题难度：来源：

如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF。
（1）求证：AD⊥CF；
（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由。

答案

解：（1）证明：∵AC∥BF，∠ACB=90°，
∴∠DBF=90°，
∵∠DBE=45°，
∴∠FBE=45°，
∴∠DBE=∠FBE=45°，
又∵∠DBE=∠FEB=90°，BE=BE，
∴△BDE≌△BFE，
∴BF=BD，
又∴D为BC的中点，
∴CD=BD，
∴CD=BF，
在△ACD和△CBF中，

∴△ACD≌△CBF，
∴∠CAD=∠BCF，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACG+∠BCF=90°，
∴∠CAG+∠ACG=90°，
∴∠AGC=90°，
∴AD⊥CF；
（2）△ACF是等腰三角形；理由如下：在△ADB和△AFB中，
，
∴△ADB≌△AFB，
∴AF=AD，
∵△BDE≌△BFE，
∴AD=CF，
∴CF=AF，
∴△ACF是等腰三角形。