题目

题型：湖南省中考真题难度：来源：

如图，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形。

（1）当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；
（2）当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由。

答案

解：（1）CD=BE；理由如下
∵△ABC和△ADE为等边三角形，
∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°，
∵∠BAE=∠BAC-∠EAC=60°-∠EAC，
∠DAC=∠DAE-∠EAC=60°-∠EAC，
∴∠BAE=∠DAC，
∴△ABE≌△ACD，
∴CD=BE；
（2）△AMN是等边三角形；理由如下：
∵△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD，
∵M、N分别是BE、CD的中点，
∴BM=，
∵AB=AC，∠ABE=∠ACD，
∴△ABM≌△ACN，
∴AM=AN，∠MAB=∠NAC，
∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°，
∴△AMN是等边三角形，
设AD=a，则AB=2a，
∵AD=AE=DE，AB=AC，
∴CE=DE，
∵△ADE为等边三角形，
∴∠DEC=120°，∠ADE=60°，
∴∠EDC=∠ECD=30°，
∴∠ADC=90°，
∴在Rt△ADC中，AD=a，∠ACD=30°，
∴CD=，
∵N为DC中点，
∴，
∴，
∵△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形，
∴S_△ADE∶S_△ABC∶S_△AMN=。