题目

题型：四川省中考真题难度：来源：

如图，△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点。
① AD平分∠BAC，② DE⊥AB，DF⊥AC，③ AD⊥EF。
以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即：
①②③，①③②，②③①。
（1）试判断上述三个命题是否正确（直接作答）；
（2）请证明你认为正确的命题。

答案

解：（1）①②③，正确；①③②，错误；②③①，正确；
（2）先证①②③，如图1，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，而AD=AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF，
∴DE=DF，∠ADE=∠ADF，
设AD与EF交于G，则△DEG≌△DFG，因此∠DGE=∠DGF，进而有∠DGE=∠DGF=90°，故AD⊥EF．再证②③①，
如图2，设AD的中点为O，连结OE，OF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴OE，OF分别是Rt△ADE，Rt△ADF斜边上的中线，
∴，即点O到A、E、D、F的距离相等，
因此四点A、E、D、F在以O为圆心，为半径的圆上，AD是直径．于是EF是⊙O的弦，而EF⊥AD， ∴AD平分，即，故∠DAE=∠DAF，即AD平分∠BAC。

图1

图2