题目

题型：北京期末题难度：来源：

已知：如图，∠C=2∠B，AC=，AD为△ABC中BC边上的中线。
（1）若AE⊥BC于E，请你判断线段DE与BC之间存在的数量关系，并证明你的结论；
（2）当AD·AE=20时，求△ABD的面积。

答案

解：（1）线段DE与BC之间的数量关系是DE=BC．
理由如下：如图，作∠ACB的平分线CF，交AB于F，连接FD，
则∠1=∠2=∠ACB，
∵∠ACB=2∠B，
∴∠2=∠B，
∴FB=FC（在一个三角形中，等角对等边），
∴△BFC为等腰三角形（等腰三角形的定义），
∵D为BC边上的中点，
∴∠CDF=90°（等腰三角形底边上的中线与底边上的高线互相重合），
∵AC=BC，
∴BD=DC=AC，
在△ACF和△DCF中，，
∴△ACF≌△DCF（SAS），
∴∠CAF=∠CDF=90°（全等三角形对应角相等），
∵∠1+∠2+∠B=90°，即3∠1=90°，解得∠1=30°，
∴∠ACB=60°，
又∵AC=CD，
∴△ADC为等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．
∵AE⊥BC于E，
∴DE=DC（等腰三角形底边上的高线与底边上的中线互相重合）．
∴DE=DC=?BC=BC；
（2）由（1）可得AD=CD=BD，
∵AD·AE=20，
∴S_△ABD=BD·AE=AD·AE=×20=10，
答：△ABD的面积为10。