题目

题型：福建省期中题难度：来源：

如图，矩形ABCD沿直线MN折叠，使点D落在点B处，点E、F分别是边AD、BC与MN的交点，Q是MM与对角线BD的交点，P是对角线BD上任意一点，PH⊥BE于H，PG⊥AD于G。
（1）不添加辅助线，找出图中的全等三角形。（至少找出两组，不要求证明）
（2）请你猜想PH、PG、AB它们之间有什么关系？并证明你的结论。

答案

解：（1）△ABD≌△CDB、 △BEQ≌△DEQ、 △BEQ≌△BFQ、 △DEQ≌△BFQ；
       （2）PH+PG=AB
               解法1：连接PE 
             
           由（1）可知，△BEQ≌△DEQ，∴BE=DE
            ∵S_△BDE= S_△BEP+S_{△DEP
              又∵AB⊥DE，PH⊥BE，PG⊥DE 
            ∴
           即}
           ∴PH+PG=AB
        解法2：延长GP交BC于点I，则GI=AB，
         
              ∵四边形ABCD是矩形，PG⊥AD
             ∴AD∥BC 
             ∴∠PBI=∠PDG，∠DGP=∠PIB=90°
           由（1）知：△BEQ≌△DEQ 
          ∴∠EBP=∠PDE，
          ∴∠HBP=∠PBI
          ∵PH⊥BE
          ∴∠PHB=∠PIB=90°
          ∵PB=PB 
         ∴△PHB≌△PIB（AAS）
         ∴PI=PH 
         ∴GI=GP+PI=GP+PH=AB