题目

题型：0123 中考真题难度：来源：

如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BD于点O，∠CDB=∠CAB，DE⊥AB，CF⊥AB，E，F为垂足，设DC=m，AB=n。
（1）求证：△ACB≌△BDA；
（2）求四边形DEFC的周长。

答案

解：（1）∵AB∥CD，∠CDB=∠CAB，
∴∠CDB=∠CAB=∠ABD=∠DCA，
∴OA=OB，OC=OD，
从而AC=BD，
在△ACB与△BDA中，
∵AB=AB，∠CAB=∠DBA，AC=BD，
∴△ACB≌△BDA； （2）过点C作CG∥BD，交AB延长线于G，
∵DC∥AG，CG∥BD，
∴四边形DBGC为平行四边形，
∵△ACB≌△BDA，
∴AD=BC，
即梯形ABCD为等腰梯形，
∵AC=BD=CG，
∴AC⊥BD，
即AC⊥CG，
又CF⊥AG，
∴CF=AG，
又AG=AB+BG=，
∴CF=，
又四边形DEFC为矩形，故其周长为
2（DC+CF）=。