题目

题型：威海难度：来源：

矩形ABCD中，AB=2，BC=1，以AB为直径的半圆切CD于E，P为CD上的动点（不与C，D重合），连接AP交半圆于F，连接BP，BF，如图1．
（1）当

AF

=2

BF

时，图1中有几对全等的三角形？将其表示出来；
（2）P点在CD上移动，还有能构成全等三角形的情况吗？若有，请说出还有几次，并在图2中用尺规作出每次构成全等三角形时的图形（不写作法，保留作图痕迹）；若没有，说明理由．

答案

（1）当

AF

=2

BF

时，图中有两对全等的三角形，分别是△ABF≌△PAD，△BPF≌△BPC；  
∵

AF

=2

BF

，
∴∠FAB=30°，
∵AB为直径，
∴∠AFB=90°，
∴BF=

1

2

AB=2，
∵∠DPA=∠PAB，∠ADP=∠AFB，
AD=BF=2，
∴△ABF≌△PAD，
∵BC=BF=2，∠C=∠BFP，PB=PB，
∴Rt△BPF≌Rt△BPC．

（2）还有两次能构成全等三角形的情况．


每次构成全等三角形时的图形如图．
①当AB=PB时，△AFB≌△PFB，
②当AP=PB时，△ADP≌△BCP．