题目

题型：不详难度：来源：

如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D在BC上，E在AC上，且∠ADE=45度．
（1）求证：△ABD∽△DCE．
（2）当D在什么位置时，△ABD≌△DCE．

答案

（1）∵∠BAC=90°，AB=AC
∴∠B=∠C=45°，
又因为∠DEC=∠ADE+∠CAD=45°+∠CAD（三角形的外角等于不相邻的两个内角之和），
同理∠ADB=∠C+∠CAD=45°+∠CAD，
∴∠DEC=∠ADB又∠ABD=∠DCE=45°，
∴△ABD∽△DCE．

（2）在Rt△ABC内，作∠BAD=22.5°，
（即∠A的四等份线）交BC于D，则点D即为所求．
∵△ABD∽△DCE当AB=CD时，△ABD≌△DCE，
∵AB=AC，
∴CD=AC从而∠ADC=∠CAD．
又∵∠C=∠B=45°，∠ADE=45°，
∴∠EDC=22.5°．