题目

题型：山东省期末题难度：来源：

已知线段AC=8，BD=6．
（1）已知线段AC垂直于线段BD．设图1，图2和图3中的四边形ABCD的面积分别为S₁、S₂和S₃，则S₁=______，S₂=______，S₃=______；
（2）如图4，对于线段AC与线段BD垂直相交（垂足O不与点A，C，B，D重合）的任意情形，请你就四边形ABCD面积的大小提出猜想，并证明你的猜想；
（3）当线段BD与AC（或CA）的延长线垂直相交时，猜想顺次连接点A，B，C，D，A所围成的封闭图形的面积是多少？

答案

解：（1）S₁=24，S₂=24，S₃=24；
（2）对于线段AC与线段BD垂直相交（垂足O不与点A，C，B，D重合）的任意情形，四边形ABCD的面积为定值24．
证明如下：∵AC⊥BD，
∴S_△BAC=AC·OB，S_△DAC=AC·OD，
∴S_{四边形ABCD}=AC·OB+AC·OD=AC·（OB+OD）=AC·BD=24；
（3）顺次连接点A，B，C，D，A所围成的封闭图形的面积仍为24．
证明：∵AC⊥BD，
∴S_△ABD=AO·BD，S_△BCD=CO·BD，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△BCD=AO·BD+CO·BD=BD（AO+CO）=BD·AC=24．