题目

题型：河北省期中题难度：来源：

（1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC，求∠AEB的大小；

（2）如图8，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠），求∠AEB的大小。

答案

解：（1）如图7，∵ △BOC和△ABO都是等边三角形，且点O是线段AD的中点， 
                ∴ OD=OC=OB=OA，∠1=∠2=60°∴ ∠4=∠5
                又∵∠4+∠5=∠2=60°,    ∴ ∠4=30°
                同理，∠6=30°. ∵ ∠AEB=∠4+∠6       ∴ ∠AEB=60° 
        （2）如图8.
               
              ∵ △BOC和△ABO都是等边三角形， ∴ OD=OC, OB=OA,∠1=∠2=60°，
            又∵OD=OA, ∴ OD=OB，OA=OC， ∴ ∠4=∠5，∠6=∠7.
             ∵ ∠DOB=∠1+∠3，∠AOC=∠2+∠3，   ∴∠DOB=∠AOC.
             ∵ ∠4+∠5+∠DOB=180°, ∠6+∠7+∠AOC=180°,  ∴ 2∠5=2∠6， ∴ ∠5=∠6.
              又∵ ∠AEB=∠8-∠5， ∠8=∠2+∠6， ∴ ∠AEB=∠2+∠5-∠5=∠2， ∴ ∠AEB=60°