题目

题型：北京模拟题难度：来源：

已知：△AOB中，AB=OB=2，△COD中，CD=OC=3，∠ABO=∠DCO，连接AD、BC，点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点。
（1）如图（1），若A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO=60°，则△PMN的形状是_____，此时=_____；
（2）如图（2），若A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO=2α，证明△PMN∽△BAO，并计算的值（用含α的式子表示）；
（3）在图（2）中，固定△AOB，将△COD绕点O旋转，直接写出PM的最大值。

答案

解：（1）等边三角形；1；
（2）连接BM、CN，
由题意，得BM⊥OA，CN⊥OD，∠AOB=∠COD=90°-α，
∵A、O、C三点在同一直线上，
∴B、O、D三点在同一直线上，
∴∠BMC=∠CNB =90°，
∵为BC中点，
∴在Rt△BMC中，PM=BC，
在Rt△BNC中，PN=BC，
∴PM=PN，
∴B、C、N、M四点都在以P为圆心，BC为半径，
∴∠MPN=2∠MBN，
又∵∠MBN=∠ABO=α，
∴∠MPN=∠ABO，
∴△PMN∽△BAO，
∴MN/PM=AO/BA，
由题意：MN=AD，
又PM=BC，
∴AD/BC= MN/PM，
∴AD/BC=AO/BA，
在Rt △BMA中，
AM/AB=sinα，
∵AO=2AM，
∴=2sinα，
∴=2sinα；
（3）。