数学课上，老师出示了如下框中的题目，小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1 ）特殊情况探索结论当点E为AB的中点时，如图1 ，确定线段AE与DB的大小关系， - 初中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：浙江省期末题难度：来源：

数学课上，老师出示了如下框中的题目，

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1 ）特殊情况探索结论当点E为AB的中点时，如图1 ，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE( )DB （填“＞”，“＜”或“=”）．
（2 ）特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE( )DB （填“＞”，“＜“=”），理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F。（请你完成以下解答过程）
（3 ）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E 在直线AB上，点D 在直线BC上，且ED=EC，若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长。（请你直接写出结果）

答案

解：（1）答案为：=；
（2）答案为：=，
证明：在等边△ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
AB=BC=AC，
∵EF?BC，
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，
∴∠AEF=∠AFE=∠BAC=60°，
∴AE=AF=EF，
∴AB﹣AE=AC﹣AF，即BE=CF，
∵∠ABC=∠EDB+∠BED=60°，∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB，
∵∠EBC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，
∴∠BED=∠FCE，
在△DBE和△EFC中，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴DB=EF，
∴AE=BD；
（3）解：分为四种情况：如图：
∵AB=AC=1，AE=2，
∴B是AE的中点，△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=1，△ACE是直角三角形（根据直角三角斜边的中线等于斜边的一半），
∴∠ACE=90°，∠AEC=30°，
∴∠D=∠ECB=∠BEC=30°，∠DBE=∠ABC=60°，
∴∠DEB=180°﹣30°﹣60°=90°，
即△DEB是直角三角形，
∴BD=2BE=2（30°所对的直角边等于斜边的一半），
即CD=1+2=3．如图2，
过A作AN?BC于N，过E作EM?CD于M，
∵等边三角形ABC，EC=ED，
∴BN=CN=BC=，CM=MD=CD，AN?EM，
∴△BAN?△BEM，
∴=，
∵△ABC边长是1，AE=2，
∴=，
∴MN=1，
∴CM=MN﹣CN=1﹣=，
∴CD=2CM=1；如图3，
∵∠ECD＞∠EBC（∠EBC=120°），
而∠EDC不能等于120°，否则△EDC不符合三角形内角和定理，
∴此时不存在EC=ED；如图4
∵∠EDC＜∠ABC，∠ECB＞∠ACB，
又∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ECD＞∠EDC，即此时ED≠EC，
∴此时情况不存在，答：CD的长是3或1．