题目

题型：江苏省期末题难度：来源：

如图，已知等边△ABC中，DE∥BC，FG∥BC，现将等边△ABC分别沿DE和FG对折，点A分别落在点A₁和点A₂，连接A₂B，A₂C．
（1）求证：△AFG是正三角形；
（2）求证：A₂B=A₂C；
（3）设A₁D、A₁E交GF于M、N两点，若DE=cm，FG=3cm，求△A₁MN的周长．

答案

（1）证明：∵等边△ABC，
∴∠A=∠ACB=∠ABC=60°，AB=AC．
∵FG∥BC，∠AFG=∠ABC=60°，
∴△AFG是正三角形．
（2）证明：由对折可知，△AFG≌△A₂FG，△ADE≌△A₁DE，
∴△A₂FG是正三角形．
∵A₂F=A₂G，∠A₂FB=∠A₂GC=60°．
又∵AF=AG，∴BF=CG．
∴△A₂FB≌△A₂GC．
∵A₂B=A₂C．
（3）解：∵∠A₁MN=∠A₁NM=∠MA₁N=60°，
∴△A1MN是等边三角形．
又∵△DFM是等边三角形，
∴MD=FD=3﹣．
∴MA₁=A₁D﹣MD=（cm）．
∴A₁MN的周长为5cm．