题目
题型:不详难度:来源:
(1)在图1中顺次连接边AC、AB、BD、CD的中点E、F、G、H,则四边形EFGH的形状是______;
(2)如图2,若点P是线段AB上任一点,在AB的同侧作△APC和△BPD,使PC=PA,PD=PB,∠APC=∠BPD,连接CD,得四边形ABDC,则(1)中结论还成立吗?说明理由;
(3)如图3,若点P是线段AB外一点,在△APB的外部作△APC和△BPD,使PC=PA,PD=PB,且∠APC=∠BPD=90°,请你先补全图3,再判断四边形EFGH的形状,并说明理由.
答案
(2)第一问的结论仍成立,即四边形EFGH为菱形,理由为:
连接AD,BC,如图2所示,
∵∠APC=∠BPD,
∴∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD,即∠APD=∠CPB,
在△APD和△CPB中,
|
∴△APD≌△CPB(SAS),
∴AD=BC,
在△ACD中,E为AC中点,H为CD中点,
∴EH为△ACD的中位线,
∴EH=
1 |
2 |
同理PG=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴EH=PG,EH∥PG,且EH=HG,
四边形EFGH为菱形;
(3)四边形EFGH为正方形,理由为:
连接AD,BC,如图3所示,
∵∠APC=∠BPD,
∴∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD,即∠APD=∠CPB,
在△APD和△CPB中,
|
∴△APD≌△CPB(SAS),
∴AD=BC,∠DAP=∠BCP,
在△ACD中,E为AC中点,H为CD中点,
∴EH为△ACD的中位线,
∴EH=
1 |
2 |
同理PG=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴EH=PG,EH∥PG,且EH=HG,
四边形EFGH为菱形,
又∠CMN=∠AMP,∠DAP=∠BCP,
∴△CMN∽△AMP,又∠APC=90°,
∴∠CNM=∠APC=90°,
∴四边形EFGH为正方形.
故答案为:正方形
核心考点
试题【如图1,点P是线段AB的中点,分别以AP和BP为边在线段AB的同侧作等边三角形APC和等边三角形BPD,连接CD,得到四边形ABDC.(1)在图1中顺次连接边A】;主要考察你对等边三角形性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)如图1,线段AN与线段BM是否相等?证明你的结论;
(2)如图2,AN与MC交于点E,BM与CN交于点F,探究△CEF的形状,并证明你的结论.
(1)求证:△ABC≌△ADC;
(2)求证:AD+AB=AC;
(3)把题中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC+∠ADC=180°,且DC=BC,如图2,其他条件不变,则(2)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
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