题目
题型:不详难度:来源:
探究(1):如图1,过等边△ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、CA的垂线围成△MNG,求证:△MNG是等边三角形且MN=
3 |
探究(2):在等边△ABC内取一点O,过点O分别作OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥CA,垂足分别为点D、E、F.
①如图2,若点O是△ABC的重心,我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论(不必证明):结论1. OD+OE+OF=
| ||
2 |
3 |
2 |
②如图3,若点O是等边△ABC内任意一点,则上述结论1,2是否仍然成立?如果成立,请给予证明;如果不成立,请说明理由.
答案
∴∠ABC=60°.
∵BC⊥MN,BA⊥MG,
∴∠CBM=∠BAM=90°.
∴∠ABM=90°-∠ABC=30°.
∴∠M=90°-∠ABM=60°.
同理:∠N=∠G=60°.
∴△MNG为等边三角形.
在Rt△ABM中,BM=
AB |
sinM |
a |
sin60° |
2
| ||
3 |
在Rt△BCN中,BN=
BC |
tanN |
a |
tan60° |
| ||
3 |
∴MN=BM+BN=
3 |
(2)②:结论1成立.
证明:如图3,过点O作GH∥BC,分别交AB、AC于点G、H,过点H作HM⊥BC于点M,
∴∠DGO=∠B=60°,∠OHF=∠C=60°,
∴△AGH是等边三角形,
∴GH=AH.
∵OE⊥BC,
∴OE∥HM,
∴四边形OEMH是矩形,
∴HM=OE.
在Rt△ODG中,OD=OG•sin∠DGO=OG•sin60°=
| ||
2 |
在Rt△OFH中,OF=OH•sin∠OHF=OH•sin60°=
| ||
2 |
在Rt△HMC中,HM=HC•sinC=HC•sin60°=
| ||
2 |
∴OD+OE+OF=OD+HM+OF=
| ||
2 |
| ||
2 |
| ||
2 |
=
| ||
2 |
| ||
2 |
| ||
2 |
(2)②:结论2成立.
证明:如图4,连接OA、OB、OC,根据勾股定理得:
BE2+OE2=OB2=BD2+OD2①,
CF2+OF2=OC2=CE2+OE2②,
AD2+OD2=AO2=AF2+OF2③,
①+②+③得:BE2+CF2+AD2=BD2+CE2+AF2,
∴BE2+CF2+AD2=(a-AD)2+(a-BE)2+(a-CF)2=a2-2AD•a+AD2+a2-2BE•a+BE2+a2-2CF•a+CF2
整理得:2a(AD+BE+CF)=3a2
∴AD+BE+CF=
3 |
2 |
核心考点
试题【已知:等边△ABC的边长为a.探究(1):如图1,过等边△ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、CA的垂线围成△MNG,求证:△MNG是等边三角形且MN=3a】;主要考察你对等边三角形性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)∠PBC=15°;(2)AD∥BC;(3)直线PC与AB垂直;(4)四边形ABCD是轴对称图形.
其中正确结论个数是( )
A.1 | B.2 | C.3 | D.4 |
(1)求CD的长度;
(2)探究:△ABC在滑动的过程中,点C与点O之间的最大距离是多少.
1 |
2 |
1 |
3 |
ADn=BEn=CFn=
1 |
n+1 |
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