题目

题型：江苏期中题难度：来源：

（1）已知△ABC中，∠A=90°，∠B=67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形。（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来，只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）
（2）已知△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系。

答案

解：（1）如图：

（2）设∠ABC=y，∠C=x，过点B的直线交边AC于D，
在△DBC中，
①若∠C是顶角，如图1，则∠ADB>90°，
，
此时只能有，即，
∴，即；
②若∠C是底角，则有两种情况，
第一种情况：如图2，当DB=DC时，则∠DBC=x，
△ABD中，∠ADB=2x，∠ABD=y-x，
1′由AB=AD，得2x=y-x，此时有y=3x，即∠ABC=3∠C，
2′由AB=BD，得，此时，即，
3′由AD=BD，得。此时y=90°，即，∠为小于45°的任意角，
第二种情况，如图3，当BD=BC时，∠BDC=x，，此时只能有AD=BD，
从而，这与题设∠C是最小角矛盾，
∴当∠C是底角时，BD=BC不成立。