题目

题型：期末题难度：来源：

如图1，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G，连结FG，延长AF、AG，与直线BC相交于M、N。
（1）试说明：FG=（AB+BC+AC）；
（2）如图2，若BD、CE分别是△ABC的内角平分线，则线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况说明理由；
（3）如图3，若BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，则线段FG与△ABC三边的数量关系是______。

答案

解：（1）∵AF⊥BD，∠ABF=∠MBF，
∴∠BAF=∠BMF，
∴MB=AB，
∴AF=MF，
同理可说明：CN=AC，AG=NG，
∴FG是△AMN的中位线，
∴FG=MN=（MB+BC+CN）=（AB+BC+AC）；
（2）图（2）中，FG=（AB+AC-BC）；
（3）图（3）中，FG=（AC+BC-AB）；
①如图（2），延长AF、AG，与直线BC相交于M、N，
由（1）中可知，MB=AB ，AF=MF，CN=AC，AG=NG，
∴FG=MN=（BM+CN-BC）=（AB+AC-BC）；
②如图（3）延长AF、AG，与直线BC相交于M、N，
同样由（1）中可知，MB=AB ，AF=MF，CN=AC，AG=NG，
∴FG=MN=（CN+BC-BM）=（AC+BC-AB）。