题目

题型：不详难度：来源：

将长度为2n（n为自然数，且n≥4）的一根铅丝折成各边的长均为整数的三角形，记（a，b，c）为三边的长分别为a，b，c，且满足a≤b≤c的一个三角形．
（1）就n=4，5，6的情况，分别写出所有满足题意的（a，b，c）．
（2）有人根据（1）中的结论，便猜想：当铅丝的长度为2n（n为自然数，且n≥4）时，对应（a，b，c）的个数一定是n-3，事实上这是一个不正确的猜想．请写出n=12时所有的（a，b，c），并回答（a，b，c）的个数．
（3）试将n=12时所有满足题意的（a，b，c），按照至少两种不同的标准进行分类．

答案

（1）当n=4时，有（2，3，3）；
当n=5时，有（2，4，4），（3，3，4）；
当n=6时，有（2，5，5），（3，4，5），（4，4，4）．

（2）当n=12时，a+b+c=24，且a+b＞c，a≤b≤c，得8≤c≤11，即c=8，9，10，11，
故可得（a，b，c）共12组：
A（2，11，11），B（3，10，11），C（4，9，11），D（5，8，11），E（6，7，11），F（4，10，10），
G（5，9，10），H（6，8，10），I（7，7，10），J（6，9，9），K（7，8，9），L（8，8，8）．

（3）按边分类：①等腰三角形：A，F，I，J，L；②不等腰三角形：B，C，D，E，G，H，K．
按角分类：①锐角三角形：A，F，G，I，J，K，L；②直角三角形：H；③钝角三角形：B，C，D，E．