题目

题型：增城市一模难度：来源：

已知：如图，正方形ABCD的边长为2a，H是以BC为直径的半圆O上一点，过H与圆O相切的直线交AB

于E，交CD于F．
（1）当点H在半圆上移动时，切线EF在AB、CD上的两个交点也分别在AB、CD上移动（E、A不重合，F、D不重合），试问：四边形AEFD的周长是否也在变化？证明你的结论；
（2）设△BOE的面积为S₁，△COF的面积为S₂，正方形ABCD的面积为S，且S₁+S₂=

13

48

S，求BE与CF的长．

答案

（1）由题意知，AB、CD、EF都与半圆相切，
∴EH=EB，FH=CF．
∴四边形AEFD的周长=AE+EH+HF+DF+AD=AE+EB+FC+DF+AD=6a．
∴四边形AEFD的周长是定值，没有变化．

（2）∵EO平分∠BEH，FO平分∠CFH，
∴OF⊥EO．
∵∠EOB、∠OFC同为∠FOC的余角，∴∠EOB=∠OFC．
又∠EBO=∠OCF=90°，
∴△EBO∽△OCF．
∴

EB

OC

=

OB

CF

，即EB?CF=OC?OB=a²…①
∵S₁+S₂=

13

48

S，
∴

1

2

OB?BE+

1

2

OC?CF=

13

48

?4a²．
即BE+CF=

13

6

a…②
解①②得BE=

3

2

a，FC=

2

3

a；或BE=

2

3

a，FC=

3

2

a．