题目

题型：不详难度：来源：

观察下列各图：

（1）第1个图中有1个三角形，第2个图中有3个三角形，第3个图中有6个三角形，第4个图中有______个三角形，…，根据这个规律可知第n个图中有______个三角形（用含正整数n的式子表示）；
（2）问在上述图形中是否存在这样的一个图形，该图形中共有25个三角形？若存在，请画出图形；若不存在请通过具体计算说明理由；
（3）在下图中，点B是线段AC的中点，D为AC延长线上的一个动点，记△PDA的面积为S₁，△PDB的面积为S₂，△PDC的面积为S₃．试探索S₁、S₂、S₃之间的数量关系，并说明理由．

答案

（1）10；

n(n+1)

2

；

（2）不存在（法一）当n=6时，三角形的个数为

6×(6+1)

2

=21；
当n=7时，三角形的个数为

7×(7+1)

2

=28；
所以不存在n使三角形的个数为25．
（法二）由

n(n+1)

2

=25，得n（n+1）=50，而不存在两个连续整数的乘积为50，
所以不存在n使三角形的个数为25．

（3）S₁+S₃=2S₂．
∵点B是线段AC的中点，
∴AB=BC，
∴S_△PAB=S_△PBC，
∴S₁+S₃=2S₂．