题目

题型：北京模拟题难度：来源：

请阅读下列材料：
问题：如图（1），在等边三角形ABC内有一点P，且AP=2，BP=，CP=1，求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长？
李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图（2）连接PP"，可得△P"PB是等边三角形，而△PP"A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以∠AP"B=150°，即∠BPC=∠AP"B=150°．进而求出等边△ABC的边长为，问题得到解决。
请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图（3），在正方形ABCD 内有一点P，PA=，PB=，PC=1，求∠BPC的度数和正方形ABCD的边长。

答案

解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得△BP"A，则△BPC≌△BP"A
∴AP"=PC=1，BP=BP"=
连接PP"，在Rt△BP"P中，
∵BP"=BP=，∠PBP"=90°，
∴PP"=2，∠BP"P=45°，
在△AP"P中，AP"=1，PP"=2，AP=，
∵1²+2²=，即AP"²+PP"²=AP²，
∴△AP"P是直角三角形，即∠AP"P=90°，
∴∠AP"B=135°，
∴∠BPC=∠AP"B=135°，
过点B作BE⊥AP"交AP"的延长线于点E，
∴∠EP"B=45°，
∴EP"=BE=1，
∴AE=2，
∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB=，
∴∠BPC=135°，正方形ABCD的边长为。