题目

题型：湖南省中考真题难度：来源：

如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ。

（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；
（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由。

答案

解：（1）猜想：AP=CQ，
证明：在△ABP与△CBQ中，
∵AB=CB，BP=BQ，∠ABC+∠PBQ=60°，
∴，
∴△ABP≌△CBQ，
∴AP=CQ；
（2）由PA：PB：PC=3：4：5，可设PA=3a，PB=4a，PC=5a，
连接PQ，在△PBQ中，
由于PB=BQ=4a，且∠PBQ=60°，
∴△PBQ为正三角形，
∴PQ=4a，
于是在△PQC中，
∵，
∴△PQC是直角三角形。