题目
题型:不详难度:来源:
(1)图2,△ABC中,AC=BC,点E,F分别在线段AC,BC上运动(不与端点重合),而且CE=BF,O是△ABC的外心(外接圆的圆心,它到三角形三个顶点距离相等),试证明C,E,O,F四点共圆.(注:可以使用上述定理,也可以采用其他方法)
如果将问题2中的点C“分离”成两个点,那么就有:
(2)图3,在凸四边形ABCD中,AD=BC,点E,F分别在线段AD,BC上运动(不与端点重合),而且DE=BF,直线AC,BD相交于点P,直线EF,BD相交于点Q,直线EF,AC相交于点R.当点E,F分别在线段AD,BC上运动(不与端点重合)时,探究△PQR的外接圆是否经过除点P外的另一个定点?如果是,请给出证明,并指出是哪个定点;如果不是,请说明理由.
答案
∴∠OCB=∠OBC,
又∵AC=BC,
∴∠OCB=∠OCA,
∴∠OBC=∠OCA,
在△ECO与△FBO中,
|
∴△ECO≌△FBO,
∴∠EOC=∠FOB,又∠AOC=∠BOC,
∴∠EOF=∠COB,
又∵EO=OF,
∴∠OEF=∠OCF,
∴C,E,O,F四点共圆;
(2)由于是将问题2中的点C“分离”成两个点,
根据图形变换的过程,猜测△PQR的外接圆一定经过线段AC,BD垂直平分线的交点O.
下面给予证明:
显然△ODA≌△OCB,
∴∠OBF=∠ODE,
∴△OBF≌△ODE,
∴OE=OF且∠BOF=∠DOE,
∴∠BOD=∠EOF,
∴△EOF∽△BOD∽△COA,
∴∠OBD=∠OEF=∠OCA,
∴O,B,F,Q四点共圆,O,F,C,R四点也共圆,
∴∠OFB=∠OQB=∠ORP,
∴P,Q,O,R四点共圆,即当点E和F变动时,△PQR的外接圆经过除点P外的另一个定点O.
核心考点
试题【定理:图1,如果∠ADB=∠ACB,那么四边形ABCD有外接圆,也叫做A,B,C,D四点共圆.(注:本定理不需要证明)(1)图2,△ABC中,AC=BC,点E,】;主要考察你对三角形三边关系等知识点的理解。[详细]
举一反三
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