题目

题型：湖北省期末题难度：来源：

如图1，射线OC，OD在∠AOB的内部，且∠AOB=150°，∠COD=30°，射线OM，ON分别平分∠AOD，∠BOC。
（1）若∠AOC=60°，试通过计算比较∠NPD和∠MOC的大小；
（2）如图2，若将图1中∠COD在∠AOB内部绕点O顺时针旋转。
①旋转过程中∠MON的大小始终不变，求∠MON的值；
②如图3，若旋转后OC恰好为∠MOA的角平分线，试探究∠NOD与∠MOC的数量关系。

答案

解：（1）∵∠AOC=60°，∠DOC=30°，
∴∠DOC=90°，
∴∠DOM=45°，
∴∠MOC=45°-30°=15°，
∵∠AOC=60°，∠AOB=150°，
∴∠BOC=90°，
∴∠NOC=45°，
∴∠NOD=45°-30°=15°,
∴∠MOC=∠NOD；
（2）①：∵OM平分∠AOD，ON平分∠BOC，
∴∠AOD=2∠AOM，∠BOC=2∠BON，
∴∠AOB=∠AOD+∠BOC-∠COD=2∠AOM+2∠BON-30°=150°，
∴∠AOM+∠BON=90°，
∴∠MON=150°-90°=60°；
②令∠MOC=∠AOC=x，
则∠DOM=30°-x，则30°-x=2 x，
可得x=10°，
则∠DOM=20°，则∠NOD=40°，
则∠AOC=10 °，∠NOD=4∠MOC。