题目

题型：湖北省模拟题难度：来源：

如图二次函数的图象经过点D（0，），且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得线段AB长为6. （1）利用二次函数的对称性直接写出点A、B的坐标为：A（，）；B（，）；
（2）求二次函数的解析式；
（3）该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；
（4）在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

答案

（1） ∵对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6，
∴ A（ 1，0 ）、B（ 7，0 ）
（2）设二次函数的解析式为：y=a(x-h)²+k，
∵顶点C的横坐标为4，且过点（0，）
∴y=a(x-4)²+k     ， …………①
又∵对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6，
∴A(1，0)，B(7，0)
∴0=9a+k ………②，
由①②解得a=，k=，
∴二次函数的解析式为：或
（3）利用待定系数法求一次函数解析式，
即直线DB为y=-+
（4）由（1）知点C(4，)，
又∵AM=3，
∴在Rt△AMC中，cot∠ACM=，∴∠ACM=60^o，
∵AC=BC，∴∠ACB=120^o
①当点Q在x轴上方时，过Q作QN⊥x轴于N，如果AB=BQ，
由△ABC∽△ABQ有BQ=6，∠ABQ=120^o，则∠QBN=60^o，
∴QN=3，BN=3，ON=10，此时点Q(10，)，
如果AB=AQ，由对称性知Q(-2，)
②当点Q在x轴下方时，△QAB就是△ACB，此时点Q的坐标是(4，)，
经检验，点(10，)与(-2，)都在抛物线上，
综上所述，存在这样的点Q，使△QAB∽△ABC，点Q的坐标为
(10，)或(-2，)或(4，)．