题目

题型：专项题难度：来源：

已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点A在x轴上，与y轴的交点为B（0，1），且b=-4ac。
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A？若不存在说明理由；若存在，求出点C的坐标，并求出此时圆的圆心点P的坐标；
（3）根据（2）小题的结论，你发现B、P、C三点的横坐标之间、纵坐标之间分别有何关系？

答案

解：（1）由抛物线过B(0，1) 得c=1，
又b=-4ac，顶点A(-，0)，
∴-==2c=2，∴A(2，0)，
将A点坐标代入抛物线解析式，得4a+2b+1=0，
∴，
解得：a=，b=-1，
所以，抛物线的解析式为y=x²-x+1。（2）假设符合题意的点C存在，其坐标为C(x，y)， 　　　　　　　　　　　　
作CD⊥x轴于D ，连接AB、AC，
∵A在以BC为直径的圆上，
∴∠BAC=90°，
∴△AOB∽△CDA，
∴OB·CD=OA·AD，
即1·y=2(x-2)，
∴y=2x-4，
由，
解得：x₁=10，x₂=2，
∴符合题意的点C存在，且坐标为(10，16)或(2，0)，
∵P为圆心，∴P为BC的中点，
当点C坐标为 (10，16)时，取OD中点P₁，连结PP₁，　
则PP₁为梯形OBCD中位线，
∴PP₁=(OB+CD)=，
∵D (10，0)，∴P1 (5，0)，∴P (5，)；
当点C坐标为 (2，0)时， 取OA中点P₂，连结PP₂，
则PP₂为△OAB的中位线，
∴PP₂=OB=，
∵A(2，0)，∴P₂(1，0)，∴P(1，)，
故点P的坐标为(5，)或(1，)。　（3）设B、P、C三点的坐标为B(x₁，y₁)，P(x₂，y₂)，C(x₃，y₃)，
由（2）可知：。