题目

题型：专项题难度：来源：

如图，现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ，Ⅱ，它们两直角边的长分别为1和2。将它们分别放置于平面直角坐标系中的△AOB，△COD处，直角边OB，OD在x轴上．一直尺从上方紧靠两纸板放置，让纸板Ⅰ沿直尺边缘平行移动．当纸板Ⅰ移动至△PEF处时，设PE，PF与OC分别交于点M，N，与x轴分别交于点G，H。
（1）求直线AC所对应的函数关系式；
（2）当点P是线段AC（端点除外）上的动点时，试探究：
①点M到x轴的距离h与线段BH的长是否总相等？请说明理由；
②两块纸板重叠部分（图中的阴影部分）的面积S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及S取最大值时点P的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）由直角三角形纸板的两直角边的长为1和2，
知A，C两点的坐标分别为（1，2），（2，1），
设直线AC所对应的函数关系式为y=kx+b，
有，解得：，
所以，直线AC所对应的函数关系式为y=-x+3。

（2）①点M到x轴距离h与线段BH的长总相等，
因为点C的坐标为（2，1），
所以，直线OC所对应的函数关系式为，
又因为点P在直线AC上，所以可设点P的坐标为（a，3-a），
过点M作x轴的垂线，设垂足为点K，则有MK=h，
因为点M在直线OC上，所以有M（2h，h），
因为纸板为平行移动，故有EF∥OB，即EF∥GH，
又EF⊥PF，所以PH⊥GH。
故，
从而有，
化简，得，
，
所以，
又，
所以，化简，得，
而，
从而总有。
②由①知，点M的坐标为，点N的坐标为，
∴
   
    ，
所以，当时，S有最大值，最大值为，
S取最大值时点P的坐标为。