题目

题型：北京中考真题难度：来源：

已知关于x的一元二次方程2x²+4x+k-1=0有实数根，k为正整数。
（1）求k的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数y=2x²+4x+k-1的图象向下平移8个单位长度，求平移后的图象的解析式；
（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+b（b< k）与此图象有两个公共点时，b的取值范围。

答案

解：（1）由题意得，△=16-8（k-1）≥0，
∴k≤3，
∵k为正整数，
∴k=1，2，3；
（2）当k=1时，方程2x²+4x+k-1=0有一个根为零；
当k=2时，方程2x²+4x+k-1=0无整数根；
当k=3时，方程2x²+4x+k-1=0有两个非零的整数根，
综上所述，k=1和k=2不合题意，舍去；k=3符合题意，
当k=3时，二次函数为y=2x²+4x+2，把它的图象向下平移8个单位长度得到的图象的解析式为y=2x²+4x-6；
（3）设二次函数y=2x²+4x-6的图象与x轴交于A、B两点，则A（-3，0）， B（1，0），
依题意翻折后的图象如图所示，
当直线y=x+b经过A点时，可得 b=；
当直线y=x+b经过B点时，可得b =-，
由图象可知，符合题意的b（b<3）的取值范围为-<b<。