题目

题型：重庆市期中题难度：来源：

如图（一），在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+c的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB=OC，tan∠ACO=。
 （1）求这个二次函数的表达式；
（2）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度；
（3）如图（二），若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，点P到直线AG的距离最大？求出此时P点的坐标和点P到直线AG的最大距离。

答案

解：（1）由已知得：C（0，-3），A（-1，0）
将A、B、C三点的坐标代入得，解得
所以这个二次函数的表达式为：；（2）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R>0），则N（R+1，R），
代入抛物线的表达式，解得；
②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r>0），则N（r+1，-r），
代入抛物线的表达式，解得，
∴圆的半径为；（3）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，易得G（2，-3），直线AG为y=-x-1，
设P（x，），则Q（x，-x-1），PQ=，
 ，
当x=时，△APG的面积最大为，
∵AG=，此时P到AG的最大距离为。