题目

题型：四川省中考真题难度：来源：

如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0），B（-3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点为P，连接AC。
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与x轴交于点Q，求点D的坐标；
（3）抛物线对称轴上是否存在一点M，使得S_△MAP=2S_△ACP，若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）设此抛物线的解析式为：y=a（x-x₁）（x-x₂），
∵抛物线与x轴交于A（1，0）、B（-3，0）两点，
∴y=a（x-1）（x+3），
又∵抛物线与y轴交于点C（0，3），
∴a（0-1）（0+3）=3，
∴a=-3
∴y=-（x-1）（x+3），
即y=-x²-2x+3，
用其他解法参照给分；（2）∵点A（1，0），点C（0，3），
∴OA=1，OC=3，
∵DC⊥AC，OC⊥x轴，
∴△QOC∽△COA，
∴，即
∴OQ=9，，
又∵点Q在x轴的负半轴上，
∴Q（-9，0），
设直线DC的解析式为：y=mx+n，
则解之得：
∴直线DC的解析式为：y=x+3，
∵点D是抛物线与直线DC的交点，
∴，解之得：，（不合题意，应舍去）
∴点D；（3）如图，点M为直线x=-1上一点，连接AM，PC，PA，设点M（-1，y），直线x=-1与x轴交于点E，
∴AE=2，
∵抛物线y=-x²-2x+3的顶点为P，对称轴为x=-1，
∴P（-1，4），
∴PE=4，则PM=|4-y|，
∵S_{四边形AEPC}=S_{四边形OEPC}+S_△AOC，
=
=
=5，
又∵S_{四边形AEPC}=S_△AEP+S_△ACP，
S_△AEP=AE×PE=×2×4=4，
∴+S△ACP=5-4=1，
∵S_△MAP=2S_△ACP，
∴×2×|4-y|=2×1，
∴|4-y|=2，
∴y₁=2，y₂=6，
故抛物线的对称轴上存在点M使S△MAP=2S△ACP，
点M（-1，2）或（-1，6）
用其他解法参照给分。