题目

题型：上海期中题难度：来源：

如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点P到x轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O、M两点，OM=4，矩形ABCD的边BC在线段的OM上，点A、D在抛物线上。
（1）请写出P、M两点坐标，并求这条抛物线的解析式；
（2）设矩形ABCD的周长为L，求L的最大值；
（3）连结OP、PM，则△PMO为等腰三角形，请判断在抛物线上是否还存在点Q（除点M外），使得△OPQ也是等腰三角形，简要说明你的理由。

答案

解：（1）点P坐标为（2，4），点M坐标为（4，0），
设：抛物线的解析式为，
则：
得：a=-1
∴y=-x²+4x；
（2）设A点的坐标是（x，y），其中0＜x＜4，
则AD=BC=2（x-2）（x≠2，否则A、D两点重合），AB=CD=y，
矩形的周长为1=2（AB+AD）=2（y+2x-4）=-2（x-3）²+10，
∵0＜3＜4，
∴当x=3时，矩形的周长1的最大值是10；
（3）存在，
理由：作OP的中垂线一定能与抛物线相交，或以O点为圆心，以OP为半径画弧也能与抛物线相交。