题目

题型：河北省模拟题难度：来源：

如图，抛物线y=ax²+bx+c经过原点O，与x轴交于另一点N，直线y=kx+4与两坐标轴分别交于A、D两点，与抛物线交于点B（1，m）、C（2，2）。
（1）求直线与抛物线的解析式；
（2）若抛物线在x轴上方的部分有一动点P(x，y)，设∠PON=α，求当△PON的面积最大时tanα的值；
（3）若动点P保持（2）中的运动线路，问是否存在点P，使得△POA的面积等于△PON的面积的？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）将点C（2，2）代入直线y=kx+4可得k=-1，
所以直线的解析式为y=-x+4，
当x=1时，y=3，所以点B的坐标为（1，3），
将B，C，O三点的坐标分别代入抛物线，可得，
解得，
所以所求的抛物线为；
（2）∵ON的长是定值，
∴当点P为抛物线的顶点时，△PON的面积最大，
由得，该抛物线的顶点坐标为，
此时；
（3）存在
把x=1代入y=-x+4得y=4，
∴点A（0，4），
把y=0代入得x=0或，
∴点N，
∴，
由，即
解得x=0（舍去）或x=1，
当x=1时，y=3，
∴存在点P，其坐标为（1，3）。