题目

题型：山东省中考真题难度：来源：

如图，已知抛物线经过A（-2，0），B（-3，3）及原点O，顶点为C。
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；
（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）设抛物线的解析式为，
∵抛物线过A（-2，0），B（-3，3），O（0，0）可得，
解得，
∴抛物线的解析式为；

（2）①当AE为边时，
∵A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，
∴DE=AO=2，则D在x轴下方不可能，
∴D在轴上方且DE=2，则D₁（1，3），D₂（﹣3，3）,
②当AO为对角线时，则DE与AO互相平分，
∵点E在对称轴上，且线段AO的中点横坐标为-1，
由对称性知，符合条件的点D只有一个，与点C重合，即C（-1，-1），
故符合条件的点D有三个，分别是D₁（1，3），D₂（-3，3），C（-1，-1）。

（3）存在，如图：
∵B（-3，3），C（-1，-1），
根据勾股定理得：
BO²=18，CO²=2，BC²=20，
∴BO²+CO²=BC²，
∴△BOC是直角三角形，
假设存在点P，使以P，M，A为顶点的 三角形与△BOC相似，
设P（x，y），
由题意知x＞0，y＞0，且，
①若△AMP∽△BOC，
则，
即x+2=3（x²+2x）得：，x₂=-2（舍去），
当时，，即P（）；
②若△PMA∽△BOC，
则，
即：x²+2x=3（x+2）
得：x₁=3，x₂=-2（舍去）
当x=3时，y=15，即P（3，15），
故符合条件的点P有两个，分别是P（）或（3，15）。