题目

题型：青海省中考真题难度：来源：

已知一元二次方程x²-4x+3=0的两根是m，n且m＜n，如图所示，若抛物线y=-x²+bx +c的图像经过点A（m，0）、B（0，n）；
（1） 求抛物线的解析式；
（2） 若（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C，根据图像回答，当x取何值时，抛物线的图像在直线BC的上方？
（3） 点P在线段OC上，作PE⊥x轴与抛物线交与点E，若直线BC将△CPE的面积分成相等的两部分，求点P的坐标。

答案

解：（1）∵x²-4x+3=0的两个根为x₁=1，x₂=3，
∴A点的坐标为（1，0），B点的坐标为（0，3），
又∵抛物线y=-x²+bx+c的图像经过点A（1，0）、B（0，3）两点，
∴得
∴抛物线的解析式为y=-x²-2x+3；

（2）作直线BC，
由（1）得，y=-x²-2x+3，
∵ 抛物线y=-x²-2x+3与x轴的另一个交点为C
令-x²-2x+3=0
解得：x₁=1，x₂=-3
∴C点的坐标为（-3，0）
由图可知：当-3＜x＜0时，抛物线的图像在直线BC的上方；

（3）设直线BC交PE于F，P点坐标为（a，0），
则E点坐标为（a，-a²-2a+3）
∵直线BC将△CPE的面积分成相等的两部分
∴F是线段PE的中点. 即F点的坐标是（a，）
∵直线BC过点B（0，3）和C（-3，0）
易得直线BC的解析式为y=x+3
∵点F在直线BC上，所以点F的坐标满足直线BC的解析式
即=a+3
解得a₁=-1，a₂=-3（此时P点与点C重合，舍去）
∴P点的坐标是（-1，0）。