题目

题型：上海中考真题难度：来源：

已知平面直角坐标系xOy（如图），一次函数的图像与y轴交于点A，点M在正比例函数的图像上，且MO=MA，二次函数 y=x²+bx+c的图像经过点A、M。
（1）求线段AM的长；
（2）求这个二次函数的解析式；
（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图像上，点D在一次函数的图像上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标。

答案

解：（1）在一次函数y= x+3中，当x=0时，y=3．
∴A（0，3）．
∵MO=MA，
∴M为OA垂直平分线上的点，可求OA垂直平分线上的解析式为y= ，
又∵点M在正比例函数y=x，
∴M（1，），
又∵A（0，3）．
∴AM= ；
（2）∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A、M．
可得 ，
解得 ．
 ；
（3） 设B（0，m）（m<3），C（n，n²-n+3），D（n，n+3），
|AB|=3-m，|DC|=y_D-y_C=n+3-（n²-n+3）=n-n²，
|AD|=n，
|AB|=|DC|n-n²…①，
|AB|=|AD|n…②
解①，②，得n₁=0（舍去），或者n₂=2，
将n=2代入C（n，n²-n+3），得C（2， 2）。