题目

题型：四川省中考真题难度：来源：

如图抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），且对称轴x=1。
（1）求出抛物线的解析式及A、B两点的坐标；
（2）在x轴下方的抛物线上是否存在点D，使四边形ABDC的面积为3，若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由（使用图1）；
（3）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点P的坐标（使用图2）。

答案

解：（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，-1），且对称轴x=1，
∴，解得：，
∴抛物线解析式为y=x²-x-1，令x²-x-1=0，得：x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；
（2）设在x轴下方的抛物线上存在D（a，a²-a-1）（0＜a＜3）使四边形ABCD的面积为3，
作DM⊥x轴于M，则S_{四边形ABDC}=S_△AOC+S_梯形OCDM+S_△BMD，
∴S_{四边形ABCD}=|x_Ay_C|+（|y_D|+|y_C|）x_M+（x_B-x_M）|y_D|
=×1×1+[-（a²-a-1）+1]×a+（3-a）[-（a²-a-1）]
=-a²+a+2，
∴由-a²+a+2=3，解得：a₁=1，a₂=2，
∴D的纵坐标为：a²-a-1=-或-1，
∴点D的坐标为（1，），（2，-1）；
（3）①当AB为边时，只要PQ∥AB，且PQ=AB=4即可，又知点Q在y轴上，所以点P的横坐标为-4或4，
当x=-4时，y=7；当x=4时，y=；
所以此时点P₁的坐标为（-4，7），P₂的坐标为（4，）；
②当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可，线段AB中点为G，PQ必过G点且与y轴交于Q点，过点P作x轴的垂线交于点H，可证得△PHG≌△QOG，
∴GO=GH，
∵线段AB的中点G的横坐标为1，
∴此时点P横坐标为2，由此当x=2时，y=-1，
∴这是有符合条件的点P₃（2，-1），
∴所以符合条件的点为：P₁的坐标为（-4，7），P₂的坐标为（4，）；P₃（2，-1）。