题目

题型：甘肃省中考真题难度：来源：

在梯形OABC中，CB∥OA，∠AOC=60°，∠OAB=90°，OC=2，BC=4，以点O为原点，OA所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，另有一边长为2的等边△DEF，DE在x轴上（如图（1）），如果让△DEF以每秒1个单位的速度向左作匀速直线运动，开始时点D与点A重合，当点D到达坐标原点时运动停止。
（1）设△DEF运动时间为t，△DEF与梯形OABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式；
（2）探究：在△DEF运动过程中，如果射线DF交经过O、C、B三点的抛物线于点G，是否存在这样的时刻t，使得△OAG的面积与梯形OABC的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）△DEF是边长为2的等边三角形，
在梯形OABC中，OC=2，BC=4，∠AOC=60°，AB⊥x轴
∴OA=5，AB=
依题意：①当0＜t≤1时，S=；
②当1＜t＜2时，S=；
③当2≤t≤5时，S=；（2）由已知点O（0，0）、C（1，）、B（5，）；
设过点O、C、B的抛物线的解析式为y=ax²+bx
则解得
∴抛物线的解析式为：y=，
若存在点G，使得S_△OGA=S_梯形OABC；
此时，设点G的坐标为（x，-）
∵射线DF与抛物线的交点在x轴上方
∴
化简得x²-6x+9=0，
解得x=3
则此时点G（3，），
作GH⊥x轴于H，则：DH=GH·cot60°=
∴此时t=2+（秒）
故：存在时刻t=时，△OGA与梯形OABC的面积相等。