题目

题型：贵州省中考真题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系xOy中，一抛物线的顶点坐标是（0，1），且过点（-2，2），平行四边形OABC的顶点A、B在此抛物线上，AB与y轴相交于点M.已知点C的坐标是（-4，0），点Q（x，y）是抛物线上任意一点。
（1） 求此抛物线的解析式及点M的坐标；
（2） 在x轴上有一点P（t，0），若PQ∥CM，试用x的代数式表示t；
（3）在抛物线上是否存在点Q，使得△BAQ的面积是△BMC的面积的2倍？若存在，求此时点Q的坐标。

答案

解：（1）因为抛物线的顶点坐标是（0，1），且过点（-2，2） 故设其解析式为y=ax²+1，
则有，2=（-2）²a+1，得a=，
所以此抛物线的解析式为：y=，
因为四边形OABC是平形四边形，
所以AB=OC=4，AB∥OC，
又因为y轴是抛物线的对称轴，
所以点A与B是抛物线上关于y轴的对称点，
则MA=MB=2，即点A的横坐标是2 ，
则其纵坐标=2，即点A（2，2），故点M（0，2）；（2）作QH⊥x轴，交x轴于点H，
则∠QHP=∠MOC=90°，
因为PQ∥CM，
所以所以ΔPQH∽ΔCMO，
所以，即，
而，所以，
所以；（3）设ΔABQ的边AB上的高为h，因为，
所以，所以h=2，
所以点Q的纵坐标为4，代入，得，
因此，存在符合条件的点Q，其坐标为（2，4）或（-2，4）。