题目

题型：河北省中考真题难度：来源：

如图，在Rt △ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长度的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E，点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止，设点P、Q运动的时间是t秒（t>0）。
（1）当t=2时，AP=____，点Q到AC的距离是____；
（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值，若不能，请说明理由；
（4）当DE经过点C时，请直接写出t的值。

答案

解：（1）1，；（2）作QF⊥AC于点F，如图（1），AQ=CP=t，
∴AP=3-t，
由△AQF∽△ABC，，
得，∴，
∴，
即；（3）能；
①当DE∥QB时，
∵DE⊥PQ，
∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形，
此时，∠AQP=90°，
由△APQ∽△ABC，得，
即，
解得；
②如图（3），当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形，
此时∠APQ=90°，由△AQP∽△ABC，得，
即，解得；

图（3）（4）或，
①点P由C向A运动，DE经过点C，
连接QC，作QG⊥BC于点G，如图（4），
PC=t，QC²=QC²+CG²=，
由PC²=QC²，解得。