题目

题型：山东省中考真题难度：来源：

某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施，该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点，△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆。
（1）当MN和AB之间的距离为0.5米时，求此时△EMN 的面积；
（2）设MN与AB之间的距离为x米，试将△EMN的面积S（平方米）表示成关于x的函数；
（3）请你探究△EMN的面积S（平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由。

答案

解：（1）由题意，当MN和AB之间的距离为0.5米时，MN应位于DC下方，且此时△EMN中MN边上的高为0.5米，
∴（平方米），
即此时△EMN的面积为0.5平方米；
（2）①当MN在矩形区域滑动，即0<x≤1时，△EMN的面积；
②当MN在三角形区域滑动即时，即时，
连接EG，交CD于点F，交MN于点H，
∵E为AB中点，
∴F为CD中点，GF⊥CD，且，
又∵MN∥CD，
∴△MNG∽△DCG，
∴，
∴，即，
故△EMN的面积=，
综合可得：；
（3）①当MN在矩形区域滑动时，S=x，所以S有最大值，最大值为1平方米；
②当MN在三角形区域滑动时，，
因而，当时，S得到最大值，最大值，
∵，
∴S有最大值，最大值为平方米。