题目

题型：山东省中考真题难度：来源：

已知：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为x=-1，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（-3，0）、C（0，-2）。
（1）求这条抛物线的函数表达式；
（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小，请求出点P的坐标；
（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合），过点D作DE∥PC交x轴于点E，连接PD、PE，设CD的长为m，△PDE的面积为S，求S与m 之间的函数关系式，试说明S是否存在最大值，若存 在，请求出最大值；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）由题意得，
解得：，
∴此抛物线的解析式为； （2）连接AC、BC，
因为BC的长度一定，所以要使△PBC周长最小，就是使PC+PB最小，
B点关于对称轴的对称点是A点，AC与对称轴x=-1的交点即为所求的点P，
设直线AC的表达式为y=kx+b，
则解得：
∴此直线的表达式为，
把x=-1代入得，
∴P点的坐标为；（3），S存在最大值，
理由：
∵DE∥PC，即DE∥AC，
∴△OED∽△OAC，
∴
即
∴
AE=3-OE=
连接OP，
S=S_{四边形PDOE}-S_△OED=S_△POE+S_△POD-S_△OED
=

且
∴当m=1时，S_最大=。