题目

题型：山东省中考真题难度：来源：

如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点。
（1）求此抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？ 若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标。

答案

解：（1）∵该抛物线过点C（0，-2），
∴可设该抛物线的解析式为y=ax²+bx-2，
将A（4，0），B（1，0）代入，
得，
解得，
∴此抛物线的解析式为； （2）存在，
如图，设P点的横坐标为m，则P点的纵坐标为，
当1＜m＜4时，AM=4-m，-2，
∵∠COA=∠PMA=90°，
∴①当时，
△APM∽△ACO，
即4-m=2，
解得m₁=2，m₂=4（舍去），
∴P（2，1）；
②当时，
△APM∽△CAO，
即，
解得m₁=4，m₂=5（均不合题意，舍去），
∴当1＜m＜4时，P（2，1），
类似地可求出当m>4时，P（5，-2），
当m<1时，P（-3，-14），
综上所述，符合条件的点P为（2，1）或（5，-2）或（-3，-14）； （3）如图，设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为，
过D作y 轴的平行线交AC于E，
由题意可求得直线AC的解析式为，
∴E点的坐标为，
∴
∴
∴当t=2时，△DAC的面积最大，
∴D（2，1）。