题目

题型：湖北省中考真题难度：来源：

如图，抛物线y=ax²+bx-4a经过A（-1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B。
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标。

答案

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx-4a经过A（-1，0）、C（0，4）两点，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y=-x²+3x+4；（2）如图，∵点D（m，m+1）在抛物线上，
∴m+1=-m²+3m+4，即m²-2m-3=0，
∴m=-1或m=3，
∵点D在第一象限，
∴点D的坐标为（3，4），
由（1）知OC=OB，
∴∠CBA=45°，
设点D关于直线BC的对称点为点E
∵C（0，4），D（3，4），
∴CD∥AB，且CD=3，
∴∠ECB=∠DCB=45°，
∴E点在y轴上，且CE=CD=3，
∴OE=1，
∴E（0，1），即点D关于直线BC对称的点的坐标为（0，1）；（3）如图，作PF⊥AB于F，DE⊥BC于点E，
由（1）有：DB=OC=4，
∴∠OBC=45°，
∵∠DBP=45°，
∴∠CBD=∠PBA，
∵C（0，4），D（3，4），
∴CD∥OB且CD=3，
∴∠DCE=∠CBO=45°，
∴，
∵OB=OC=4，
∴，
∴BE=BC-CE=，
∴tan∠PBF=tan∠CBD=，
设PF=3t，则BF=5t，
∴OF=5t-4，
∴P（-5t+4，3t），
∵P点在抛物线上，
∴3t=-（-5t+4）²+3（-5t+4）+4，
∴t=0（舍去）或，
∴。