题目

题型：广东省中考真题难度：来源：

已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA＜OB），直角顶点在y 轴正半轴上（如图（1））。
（1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式；
（2）如图（2），点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m>0，n>0），连接DP交BC于点E。
①当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标；
②又连接CD、CP（如图（3）），△CDP是否有最大面积？若有，求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由。

答案

解：（1）∵OC²=OA·OB，
∴OA·OB=4，
又∵OA+OB=5，且OA＜OB，
解得，OA=1，OB=4，
∴A（-1，0），B（4，0），C（0，2），
设过A、B、C三点的抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-4），
把C点坐标代入得，
∴；（2）①当△BDE为等腰三角形时，点E的坐标分别为，
②存在，过点D作直线DM垂直于x轴交CP于点M，
可求得直线CP的解析式为：y=；
（i）当点P在直线DM右侧时，如图（1）所示，
此时2＜m＜4，
把x=2代人直线CP的解析式，
得
又P（m，n）在抛物线上，
所以
S _△CDP= S_△PDM +S_△CDM

DM·2=·DM=m+n-2，
即
当时，△CDP的面积最大，最大面积为；
（ii）当点P在直线DM左侧时，如图（2）所示，此时0＜m≤2，
S_△CDP= S_△CDM - S_△DPM

，
当m=2时，S_△CDP=3，
综上所述，当时△CDP的面积最大，其最大面积为，此时。