题目

题型：湖南省中考真题难度：来源：

如图，Rt△ABC中，∠A=30°，BC=10cm，点Q在线段BC上从B向C运动，点P在线段BA上从B向A运动，Q、P两点同时出发，运动的速度相同，当点Q到达点C时，两点都停止运动，作PM⊥PQ交CA于点M，过点P分别作BC、CA的垂线，垂足分别为E、F。
（1）求证：△PQE∽△PMF；
（2）当点P、Q运动时，请猜想线段PM与MA的大小有怎样的关系？并证明你的猜想；
（3）设BP=x，△PEM的面积为y，求y关于x的函数关系式，当x为何值时，y有最大值，并将这个值求出来。

答案

解：（1）证明：∵PE⊥BC，PF⊥AC，∠C=90°，
∴∠PEQ=∠PFM=90°，∠EPF=90°，
即∠EPQ+∠QPF=90°，
又∵∠FPM+∠QPF=∠QPM=90°，
∴∠EPQ=∠FPM，
∴△PQE∽△PMF；
（2）相等。证明如下：
∵PB=BQ，∠B=60°，
∴△BPQ为等边三角形，
∴∠BQP=60°，
∵△PQE∽△PMF，
∴∠PMF=∠BQP=60°，
又∵∠A+∠APM=∠PMF，
∴∠APM=∠A=30°，
∴PM=MA；
（3）AB=，BP=x，则AP=20-x，
∴PE=xcos30°=，PF=（20-x）·，
S_△PEM=PE×PF，
∴y=（0≤x≤10）
∴当x=10时，函数的最大值为。