题目

题型：天津中考真题难度：来源：

已知抛物线C₁：，点F（1，1）。
（Ⅰ）求抛物线C₁的顶点坐标；
（Ⅱ）①若抛物线C₁与y轴的交点为A，连接AF，并延长交抛物线C₁于点B，求证：；
②抛物线C₁上任意一点P（x_p，y_p）（0<x_p<1），连接PF，并延长交抛物线C₁于点Q（x_q，y_q），试判断是否成立？请说明理由；
（Ⅲ）将抛物线C₁作适当的平移，得抛物线C₂：，若2<x≤m时，y₂≤x，恒成立，求m的最大值。

答案

解 （I）∵，
∴抛物线的顶点坐标为（）；（II）①根据题意，可得点A（0，1），
∵F（1，1），
∴AB∥x轴，
得AF=BF=1，
；
 ②成立，
理由如下：
如图，过点P（）作PM⊥AB于点M，则FM=，PM=（）
∴Rt△PMF中，由勾股定理，得

又点P（）在抛物线上，
得，即
∴
即，
过点Q（）作QN⊥B，与AB的延长线交于点N，
同理可得，
图文∠PMF=∠QNF=90°，∠MFP=∠NFQ，
∴△PMF∽△QNF
有
这里，
∴
即； （Ⅲ）令，
设其图象与抛物线交点的横坐标为，，
且<，
∵抛物线可以看作是抛物线左右平移得到的，
观察图象，随着抛物线向右不断平移，，的值不断增大，
∴当满足，，恒成立时，m的最大值在处取得，
可得当时，
所对应的即为m的最大值，
于是，将带入，
有
解得h=4或h=0（舍） 
∴
此时，，
得
解得，
∴m的最大值为8。