题目

题型：模拟题难度：来源：

如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6、AC=8，D、E分别是边AB、AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动，设BQ=x，QR=y。
（1）若B、K两点的坐标分别为（0，0）、（5，5），C点在x轴的正半轴上，求经过K、B、C三点的抛物线解析式；
（2）求点D到BC的距离DH的长；
（3）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（4）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）在Rt △ABC中，BC=
∴点C的坐标为（10，0），
设经过K、B、C三点的抛物线解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），
将点K（5，5）、B（0，0）、C（10，0）代入得
解得
∴经过K、B、C三点的抛物线解析式为y=-+2x；（2）∵点D为AB的中点，
∴BD=AB=3，
∵∠DHB=∠A=90°，∠B=∠B，
∴△BHD∽△BAC，
∴
∴；

（3）∵QR//AB，
∴ ∠QRC=∠A=90°，
∵∠C=∠C，
∴△RQC∽△ABC，
∴
∴
∴y关于x的函数关系式为y=；

（4）存在，分三种情况：
①如图（a），当PQ= PR时，过点P作PM⊥QR于M，则QM=RM，
∵∠1+∠2=90°，∠C+∠2=90°，
∴cos∠1=cos∠C=，
∴，
∴
∴，
②如图（b），当PQ=RQ时，
∴x=6，
③如图（c），当PR=QR时，则R为PQ中垂线上的点，于是点R为EC的中点，
∴CR=CE=AC，AC=2，
∵tan∠C=，
∴
∴
综上，当x为或6或时，
∴△PQR为等腰三角形。