题目

题型：湖南省中考真题难度：来源：

如图，抛物线经过点A（-4，0）、B（-2，2），连接OB、AB。
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求证：△OAB是等腰直角三角形；
（3）将△OAB绕点O按逆时针方向旋转135°，得到△OA′B′，写出A′B′的中点P的坐标，试判断点P是否在此抛物线上；
（4）在抛物线上是否存在这样的点M，使得四边形ABOM成直角梯形，若存在，请求出点M坐标及该直角梯形的面积，若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）由A（-4，0）、B（-2，2）在抛物线图象上，得：
，解之得，
∴该函数解析式为：；
（2）过点B作BC垂直于轴，垂足是点C，
易知：线段CO、CA、CB的长度均为2，
∴△ABC和△OBC为全等的等腰直角三角形，
∴AB=OB 且∠ABO=∠ABC+∠OBC=90°，
∴△OAB是等腰直角三角形；
（3）如图，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转135°，得到△OA′B′其中点B′正好落在轴上且B′A′∥轴，
又∵OB′和A′B′的长度为，A′B′中点P的坐标为，显然不满足抛物线方程，
∴点P不在此抛物线上；
（4）存在。
过点O，作OM∥AB交抛物线于点M，易求出直线OM的解析式为：y=x，
联立抛物线解析式得：，解之得，点M（-6，-6），
显然，点M（-6，-6）关于对称轴x=-2的对称点M′（2，-6）也满足要求，故满足条件的点M共有两个，坐标分别为（-6，-6）和（2，-6），
∴S_△BOM=S_△ABO+S_△AOM=×4×2+×4×6=16。